2025-07-20

ルジャンドル変換

熱力学の勉強をしています。

$L:R^{n}\to R$ をスムーズな関数とする。

その微分 $TL:TR^{n}\to TR$ を考える。

$T_{x}R^{n}\simeq R^{n}$ 、 $T_{y}R\simeq R$ だから

\begin{equation}R^{n}\simeq T_{x}R^{n}\overset{T_{x}L}{\longrightarrow} T_{L(x)}R \simeq R\end{equation}

という線形関数が定義される。これを $F_{x}L$ と書く。

$F_{x}L$ は線型空間としての $R^{n}$ の双対空間の要素なので

\begin{equation}FL:R^{n}\to (R^{n})^{*}\end{equation}

という関数が導かれた。これを $L$ のファイバー微分という。

$R^{n}$ の座標を $\dot{q}$ 、双対空間 $(R^{n})^{*}$ の $\dot{q}$ の双対座標を $p$ とおく。

$FL$ で $p$ を引き戻すと

\begin{equation}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=FL^{*}(p)\end{equation}

となる。

$FL$ が微分同相ならば、 $FL^{*}$ は無視して

\begin{equation}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p\end{equation}

と書いてもよい。

$FL$ が微分同相ならば、双対空間 $(R^{n})^{*}$ の上の関数 $H$ を

\begin{equation}H=\dot{q}\cdot p-L\end{equation}

と定義することができる。

次のカノニカルベクトル場

\begin{equation}X=\dot{q}\cdot\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\end{equation}

はグローバルな線形作用素になるので、 $H$ の定義は座標表示によらず

\begin{equation}H=(X-1)(L)\end{equation}

と書くことができる。

2025-04-23

単相三線回路のバランサーについて

まず、下の回路図に関して、次の命題が成り立つ

命題） $I_{1}=I_{2}\iff R_{1}=R_{2}$ 、ただし $r,R_{1},R_{2}$ は正の実数である。

従って $R_{1}\neq R_{2}$ のときは中性線に電流が流れてしまうことがわかる。このときバランサーを使う（下の回路図）

バランサーは巻き数比＝1の変圧器なので、一次側と二次側で電圧が等しいから

\begin{equation}R_{1}(I_{1}+I_{3})=R_{2}(I_{2}-I_{3})\end{equation}

が成り立つ。これを使って連立方程式を解くと $I_{1}=I_{2}$ が出る。

2025-04-21

電験三種　力率改善の問題について

電験三種　平成25年電力　問題16の（b）

問題が悪いという説が多数のようです。私もそう思いました。

そもそも問題の解釈で意見が別れるのは良くないと思います。

精密に計算すると、答えが違ってくるという説もあります。

この問題は無視していいかもしれませんし、しょせん資格試験という観点からも、経済的にはそうすべきかもしれません。

電圧変動率は最大で0.02なので $\delta V_{r}/V_{r}=0.02$

$V_{r}=66kV$ より電圧変動の最大は $\delta V_{r}=1320V$

電圧降下を $v$ と置くと、定義から $v=V_{s}-V_{r}$ .

両辺を微分すると $\delta v=-\delta V_{r}$ だから、電圧降下の変動は電圧変動のマイナス倍になる。

それで電圧降下の公式を使う。

\begin{equation}v=\frac{PR+QX}{V_{r}}\end{equation}

いまは $R=0$ なので

\begin{equation}v=\frac{QX}{V_{r}}\end{equation}

求めたいのはコンデンサによる無効電力の変動 $\delta Q$ です。

なので両辺を微分すると

\begin{eqnarray}\delta v=\frac{\delta Q X}{V_{r}}-\frac{QX\delta V_{r}}{V^{2}_{r}}=\frac{\delta QX}{V_{r}}-0.02v\end{eqnarray}

第二項は無視できるほど小さい？かどうかはわかりませんが、無視して

\begin{eqnarray}\delta v=\frac{\delta Q X}{V_{r}}\end{eqnarray}

$X$ は定義通り求めて、諸所の値を代入すれば答え $\delta Q=3.333...$ が出ます。

上の計算で第二項を落とすところが謎ですが、問題作成者（の脳内イメージ）はvがQだけの線形関数になっていると考えているように思えます。ゼロ付近の狭い場所なら可能なんでしょうか？

2025-04-18

電圧降下の公式

電力計算に出てくる電圧降下の例の公式です。

これはこれでいいんですが、デルタをゼロにするなら、もう

$E_{s}-E_{r}\sim I\sqrt{R^{2}+X^{2}}$

でいいんでね？と思ってしまう。

実際に電験三種の問題を検証してみると、これで正答できる問題がかなりあります。

近似は近似の仕方に恣意性があるから難しい。

精度の検証はしてないのでわかりませんが、教科書に載ってる方が精度がいいんでしょうか？

2025-04-13

変圧器とパーセントインピーダンス　その２

こんにちはこんばんは。いろいろあって電験を受験することになり、電気工学の勉強をしているO3です。

変圧器とパーセントインピーダンスに関して、資格本にははじめから期待していませんが、学生向けの教科書でも説明が不十分というか、もう少し精密に書いてほしい。だいたい電気工学の先生は先ず言葉の定義からはじめた方がいいですね。

定義）変圧器のインピーダンスとは、変圧器の一次側、二次側に結線されたインピーダンスのことをいう。図を参照

ここで $Z_{1},Z_{2}$ はインピーダンスならばなんでもよくて、いわゆる銅損とか漏れリアクタンスでもいいし、そうでなくとも良い。

定格起電力 $V_{1}/V_{2}$ 、定格容量 $P$ の変圧器Tを考える。

Tのインピーダンスを $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ とする。

Tを一次側に換算した場合の合計インピーダンスを $Z^{\prime}_{1}$ 、二次側に換算した場合の合計インピーダンスを $Z^{\prime}_{2}$ とおく。つまり

\begin{eqnarray}Z^{\prime}_{1}&:=&Z_{1}+a^{2}Z_{2}\\Z^{\prime}_{2}&:=&\frac{1}{a^{2}}Z_{1}+Z_{2}\end{eqnarray}

ここで $a=V_{1}/V_{2}$ .

$Z^{\prime}_{1}$ 、 $Z^{\prime}_{2}$ のパーセントインピーダンスを求めると、次式が成り立つ：

\begin{eqnarray}\% Z^{\prime}_{1} = \% Z^{\prime}_{2}\end{eqnarray}

ただし、基準容量として共通の定格容量 $P$ 、基準電圧としてはそれぞれ $V_{1}$ 、 $V_{2}$ をとる。

以上をまとめると

定理）変圧器のインピーダンスのパーセントインピーダンスは、一次側換算した場合と二次側換算した場合で等しい。ただし、基準電圧はそれぞれの定格をとる。

これならパーセントインピーダンスは定格電圧 $V_{1},V_{2}$ の取り方によらないので『定格容量 $P$ に比例する』という主張が意味をなしてくる。といってもあくまでも変圧器の場合に限っての話だけど。

2025-04-12

変圧器のパーセントインピーダンスの話し　その３

電験三種　平成16年電力科目の問題B16の（a）

わざわざインピーダンスを求めて解いてみる。

基準電圧もわざわざ１次２次と別々にとる。

はじめに電源と変圧器の間にあるインピーダンス $Z_{1}$ を求める。

問題の仮定から

基準容量＝100MVA

$\%Z_{1}=5$

基準電圧は66kVとする。

パーセントインピーダンスの定義から

\begin{equation}0.05=\frac{100M\times Z_{1}}{(66k)^{2}}=\frac{100Z_{1}}{(66)^{2}}\end{equation}

なので

$Z_{1}=2.18$ Ω

次に変圧器のインピーダンス $Z_{2}$ を求める。

基準容量＝10MVA

$\%Z_{2}=7.5$

基準電圧は6.6kVとする。

同様にして

$Z_{2}=0.33$ Ω

変圧器を２次側に換算してインピーダンスの合計を求める

\begin{equation}Z=\frac{1}{100}Z_{1}+Z_{2}=0.02+0.33=0.35\end{equation}

この合計Zのパーセントインピーダンスを求める

基準容量＝10MVA

基準電圧＝6.6kV

として

\begin{equation}\frac{10M\times 0.35}{(6.6k)^{2}}\times 100=8\%\end{equation}

2025-04-05

パーセントインピーダンスは容量に比例するか？

いろいろあって仕事で電験を受験することになり、試験勉強をしています。

資格本だけだと面白くないので、工学部の教科書も買って読んでいます。

まさか自分が電気工学の勉強をすることになるとは思ってもいませんでした。

不慣れだから難しいし、そもそも説明がわかりにくいですね。

で、気になったはタイトルにある%Zの話です。

自分なりに解釈すると、こんな感じかな？という話です。

完全に間違ってるかもしれませんので注意！

先ず、電気系統というものは定格のV、I、Z、Pが指定されれば、その特性が決まる。

ところでこれら四つの定格量はそれぞれ独立ではなくて

V=ZI

P=VI

という関係で結ばれている。三相の場合は

V/√3=ZI

P=√3VI

なので、四つの定格量のうち独立なのは二つだけ。

V、Pを独立と考えることが多いようです。

パーセントインピーダンスの定義

まず、基準となる $V_{B}$ 、 $I_{B}$ 、 $Z_{B}$ 、 $P_{B}$ を決めます。

基準には定格量を取ることが多いようですが、適当な量ならなんでもいいようです。

これらも上の二つの関係式で結ばれているので、独立な量として

$V_{B}$ と $P_{B}$

を取ります。

パーセントインピーダンスは、定義によって

\begin{equation}\% Z:=\frac{Z}{Z_{B}}\times 100\end{equation}

あるいは同値ですが

\begin{equation}\% Z:=\frac{Z P_{B}}{V^{2}_{B}}\times 100\end{equation}

いま、仮定から $V_{B}$ と $P_{B}$ は独立なので、パーセントインピーダンスは $P_{B}$ に比例します。当たり前ですが、独立でないと比例しません。

パーセントの線形性

$V_{B}$ と $P_{B}$ が一定の場合、パーセントは線形作用素です。

つまり

\begin{eqnarray}k\% Z&=&\% kZ\\ \% Z_{1}+\% Z_{2}&=&\% (Z_{1}+Z_{2})\end{eqnarray}

ここでkは任意の定数。

$V_{B}$ と $P_{B}$ が一定でなくとも、 $Z_{B}$ が一定なら上記の線形性は成り立ちますが、電験の問題では容量 $P_{B}$ を合わせるので、結局のところ $V_{B}$ も一定ということのようです。

練馬ラボラトリー

理系院卒による数理ブログ