偏微分方程式：Charpitの方法と正準方程式〜特性曲線の方法〜
問題
１階の偏微分方程式を解くという問題を考えます。
重要なのは解法のテクニカルな側面より、その哲学の方です。
偏微分方程式は常微分方程式に比べて難しいので、問題をより簡単な常微分方程式に置き換えて解くのです。
まず、問題の偏微分方程式を微分方程式とリレーションとに分解します：
\begin{eqnarray}dz-p_{1}dx-p_{2}dy&=&0\\F(x,y,z,p_{1},p_{2})&=&0\end{eqnarray}
ここでは独立変数で
は
の上の関数。Fは微分を含まないただの関係式になりました。この分解は問題の鍵を握る重要なポイントです。
ハミルトン形式にすること
問題が解けたならば、
、
となるので、これを先読みして改めて
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x}&:=&\frac{\partial}{\partial x}+p_{1}\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{\partial}{\partial y}&:=&\frac{\partial}{\partial y}+p_{2}\frac{\partial}{\partial z}\end{eqnarray}
と定義します。あえて同じ記号を使いました。
唐突ですが、を相空間の正準座標とみなします。
まず、上で再定義した微分を使って、ポアソン括弧をいつものように
\begin{eqnarray}\{F,G\}:=\frac{\partial F}{\partial p_{1}}\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial p_{2}}\frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial p_{1}}-\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial G}{\partial p_{2}}\end{eqnarray}
ここでなる関数です。微分は上で定義されたものが使われていることに注意。例えば
\begin{eqnarray}\frac{\partial G}{\partial x}:=\frac{\partial G}{\partial x}+p_{1}\frac{\partial G}{\partial z}.\end{eqnarray}
Fをハミルトニアンとみなし、正準方程式を解きます。そこからを満たす、いわゆる第一積分
\begin{eqnarray}G(x,y,z,p_{1},p_{2},C_{1})\end{eqnarray}
を求めます。ここでは積分定数です。
\begin{eqnarray}F(x,y,z,p_{1},p_{2})&=&0,\\G(x,y,z,p_{1},p_{2},C_{1})&=&0.\end{eqnarray}
を解いてと
を求めます。
パッフ形式を
\begin{eqnarray}\omega:=dz-p_{1}dx-p_{2}dy\end{eqnarray}
とします。これが完全可積分でなければ、積分は失敗ということになります。
積分して完全解
\begin{eqnarray}z=u(x,y,C_{1},C_{2})\end{eqnarray}
を得ます。
まとめ
- 数学的に問題になるのは可積分条件の箇所です。詳細は省きますが、下に私が勉強に使った論文のリンクを貼りますので、興味がある方はご覧くださいね。
- 個人的な趣味の問題で、ハミルトン形式として書いてみました。
参考文献
THE LAGRANGE–CHARPIT METHOD par MANUEL DELGADO (1997) https://core.ac.uk/download/pdf/51404814.pdf
